1821-ben ösztöndíjjal beiratkozott Christiania (ma Osló) egyetemére, amit 1822-ben elvégzett. 1825-1827-ig külföldön dolgozott, főként Párizsban, Berlinben és Göttingenben. Visszatérése után docens lett a Christianiai Egyetemen és Mérnökiskolában. 1829-ben tuberkulózisban halt meg. Lagrange munkásságához kapcsolódva foglalkozott a magasabb fokú egyenletek megoldó-képletének problémájával és a csoportokkal. A kommutatív csoportokat ma Abel-csoportnak nevezzük. Vizsgálta a sorok konvergenciáját, az ún. Abel-féle integrálokat és az elliptikus függvényeket is. 2001-ben, születésének 200. évfordulóján a norvég kormány megalapította a Nobel-díj mintájára a róla elnevezett matematikai Abel-díjat, amely a matematika területén az egyik legrangosabb kitüntetés.