algebra

A matematika legrégibb ága a számelmélet, mely a XVII - XVIII. században vált önálló kutatási területté, s eredete visszanyúlik a számmisztikába. A gondolkodás fejlõdésével egy új tudományág alakult ki, az algebra; mely absztraktabb, a mindennapi valóságtól elvonatkoztatottabb a szemlélõdõ ember számára. A matematika e két területe kezdetben nem különült el.

AZ ALGEBRÁBÓL TANULTAK RÖVID ÁTTEKINTÉSE

A három féléves fôiskolai algebra és számelmélet tanulmányaink során elôször az egész számok és a test fölötti polinomok vizsgálatával foglalkoztunk. Megismertük a maradékos, más néven EUKLIDESZ-i osztást és ennek egy speciális sorozatát az EUKLIDESZ-i algoritmust. (Itt jegyeztük meg, hogy maga az algoritmus szó AL-KHWARIZMI nevéhez fûzõdik annak kapcsán, hogy õ írta le elsõként azt az eljárást- algoritmust -amelyet ma is használunk az írásbeli osztás végzésekor.)
Bevezettük az EUKLIDESZ-i gyûrû fogalmát.
Az integritástartományban (kommutatív, egységelemes, zérusosztómentes gyûrûben) megismerkedtünk az oszthatóság, a legnagyobb közös osztó, a legkisebb közös többszörös, irreducibilis elem, prím elem fogalmával és kapcsolatával.
Bevezettük az irreducibilis faktorizációs fogalmát, s ezzel kapcsolatban bebizonyítottuk az egyértelmû irreducibilis faktorizáció tételét. Az olyan integritástartományt melyben érvényes ez a tétel GAUSS-féle gyûrûnek neveztük és megnéztük a kapcsolatát más gyûrûkkel. Késôbb hallottunk a kommutatív csoport, ABEL csoport fogalmáról is.
Említést tettünk a számelmélet alaptételérôl és a következményeirôl.
Prímszámokkal kapcsolatos eredményeket és problémákat tanulmányozva megismertük EUKLIDESZ és DIRICHLET prímszámokkal kapcsolatos tételeit. Megemlítettük a GOLDBACH-féle sejtést, melyet a mai napig nem bizonyítottak és nem is cáfoltak. A tétel bizonyításával kapcsolatban jelentôs részeredményeket VINOGRADOV tett. Kimondtuk a prímszámtételt, melyet elôször 1896-ban HADAMARD és DE LA VALLÉE-POUSSIN egymástól függetlenül bizonyított. 1949-ben
ERDÔS PÁL és SELBERG elemi számelméleti eszközök segítségével adtak megoldást.
A prímszámok körében kimondtuk még a CSEBISEV-tételt, melynek bizonyításához a LEGENDRE-féle azonosságot használtuk fel. Megismertük a prímszámok mechanikus kikeresésére alkalmas ún. ERATOSZTHENÉSZ-i szita módszerét.
A DIOFANTOSZ-i egyenletek kapcsán vizsgáltuk az ilyen egyenletek megoldhatóságát, a megoldásaik számát és módját. Így jutottunk el a PITAGORASZ-i számhármasokhoz, ezen belül a HÉRON-féle háromszögekhez.
Nevezetes DIOFANTOSZ-i eredményekkel és problémákkal kapcsolatban említettük meg a máig sem megoldott FERMAT-féle sejtést, más néven „nagy Fermat tételt”, amely az utóbbi pár évben nyert végleges megoldást. A tökéletes számmal kapcsolatban kimondtuk az EULER-tôl származó tételt, melyben szerepel a MERSENNE-féle prímszám.
A számelméleti függvények meghatározása során ismertük meg a MÖBIUSZ-féle és az EULER-féle függvényt. A számelméleti függvények gyûrûjében a multiplikatív és additív függvényekkel kapcsolatban tételeket bizonyítottunk, s megemlítettük a MÖBIUSZ-féle inverziós formulát.
Megismertük az egész számok gyûrûjében kongruenciarelációt és a maradékosztályokat, s ezzel kapcsolatban kimondtuk a „kis Fermat-tételt”. Erre a tételre, amelyen kongruenciák elmélete alapozik, elôször EULER adott bizonyítást.
A számfogalom bôvítése során jutottunk el a komplex számok fogalmához. Megfogalmaztuk a komplex számok konjugált és abszolút értékét, geometriai jelentését. Az RxR DESCARTES-féle szorzatot egy síkbeli derékszögû koordinátarendszerrel ábrázoltuk és ebben vettük fel a komplex számokat. A komplex számok hatványozásánál hallottunk a MOIVRE-képletrôl.
A számrendszerek és a g-adikus törtek áttekintése után a komplex számok testét. (megadásukat és geometriai interpretációjukat) tanulmányoztuk és kimondtuk a komplex számok algebrájának alaptételét.
A komplex együtthatás algebrai egyenletek és egyenletrendszerek fogalmának megismerése után részletesen foglalkoztunk az elsôfokú egyenletrendszerek vizsgálatával, majd a magasabb fokú egyenletekkel. Megemlítettünk néhány olyan egyszerûbb típusú magasabb fokú egyenletet is, melyet alacsonyabb fokúra vissza tudtunk vezetni. Itt ismerkedtünk meg a RUFFINI-ABEL tétellel és a ROLLE-tétellel. Az algebrai egyenletek algebrai megoldhatóságának kérdését teljes mélységben GALOIS tárgyalta. Megismertük BÉZOUT-tételét, mely a magasabb fokú egyenletrendszerre adott megoldási módot. Kimondtuk a komplex együtthatós harmadfokú egyenlet algebrai megoldhatóságát, melynek gyökeit a CARDANO-féle formula szolgáltatja. Késôbb a negyedfokú egyenletek gyökeinek megadásánál említettük meg FERRARI és EULER módszerét.
Az egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéssel kapcsolatban ismertük meg a VIÉTE-formulát.
A lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának kérdésére a KRONECKER-tétel ad választ.
A polinomok átalakításával kapcsolatosan megemlítettük a HORNER-féle elrendezést.
Foglalkoztunk az irreducibilis polinomokkal a komplex, a valós és a racionális számok teste felett és említést tettünk a NEWTON-féle valamint a LAGRANGE-féle interpolációról. Az egész számok fölötti irreducibilis polinomok tárgyalása során bizonyítottuk SCHÖNEMANN és EISENSTEIN tételét.
Vizsgáltuk a polinomok közös gyökeit (rezultánsait), s ezzel kapcsolatban bizonyítottunk tételeket is. Itt ismerhettük meg a SYLVESTER-féle determinánst. Hasonló felépítésben foglalkoztunk a polinomok többszörös gyökeivel (diszkriminánsaival).
Megismerkedtünk a félcsoport, csoport, gyûrû, test fogalmakkal, s nevezetes példákat is mondtunk rájuk. A csoport vizsgálatánál említettük a CAYLEY-féle mûvelettáblázatot.
A csoport és a gyûrû kompatíbilis osztályozásánál mondtuk ki a LAGRANGE-tételt.
Foglalkoztunk az EUKLIDESZ-i gyûrû, a GAUSS-gyûrû, a BÉZOUT-gyûrû és a fôideál-gyûrû kapcsolatával. Külön említettük meg a DEDEKIND-gyûrût.
Megismerkedtünk a hálóval, a hálószerûen rendezett halmazokkal és a HASSE-diagrammal. Hallottunk a nyolcelemû háló speciális diagramjáról, a BOOLE-féle hálóról.
Ismereteinket tovább bôvítettük a részcsoport, részgyûrû, résztest és az algebra részalgebrájának fogalmaival.
Végül a számfogalom felépítésével kapcsolatban egyszerû testbôvítéssel foglalkoztunk, s megemlítettük FROBENIUS-tételét.

MATEMATIKUSOK ÉLETRAJZA, MUNKÁSSÁGA Abel, Niels Henrik (1802-1829) Norvég matematikus.
A modern matematika számos ágának úttörôje, szegény protestáns pap fia volt. Fiatal éveit Délnyugat-Norvégiában töltötte. 1815-ben, amikor megkezdte tanulmányait az oslói püspöki iskolában, egyik tanára felismerte matematikai tehetségét, és eredeti problémákat adott fel neki megoldásra. Alapos kihívást jelentett számára, amikor tanulmányozni kezdte a XVII. századi angol matematikus és fizikus Isaac NEWTON, valamint a kortárs matematikusok Leonhard EULER, Joseph-Louis LAGRANGE és Karl Friedrich GAUSS munkáit, és megtanulta, hogyan fedezze fel a hézagokat matematikai okfejtéseikben.
Apjának halála után a család szorult anyagi helyzetbe került. 1821-ben megkezdte tanulmányait a Christiania (Oslo) Egyetemen tanára támogatásával. 1822-ben megszerezte elsô egyetemi tudományos fokozatát. Elsô tudományos közleményeiben, amelyek 1823-ban a Magazin for Naturvidenskaberne c. új folyóiratban láttak napvilágot, függvényegyenletekrôl és integrálokról írt.
1824-ben a királyi dekrétumra várva saját költségén kiadta bizonyítását a ma Ruffini-Abel tétel néven ismert eredményt. Elküldte értekezését GAUSS-nak, aki visszautasította, mert nem ismerte fel, hogy ez a híres probléma valóban bizonyítást nyert. Ez a cikk egy ösztöndíjat hozott számára, amely révén eljutott Németországba, Itáliába és Franciaországba.
Journam für die reine und angewandte Mathematik c. folyóiratban közölte az ötödfokú egyenletrôl szóló munkájának továbbfejlesztett változatát. Továbbá foglalkozott az egyenletek elméletével, függvényegyenletekkel, a zárt alakban való integrálhatósággal és elméleti mechanikai problémákkal. A matematika új irányai Berlinben további önálló munkára serkentették.
1826 nyarán Párizsban befejezte a transzcendens függvényekrôl szóló tanulmányát. Ebben a fontos mûben adta közre az algebrai függvények integráljáról szóló elméletét, ezen belül az Abel-tételt (amely kimondja, hogy véges számú illetve fajtájú független integrál létezik). Ez a tétel az alapja a késôbbi Abel-integrálok és az Abel-függvények elméletének. Tanulmányát, elismerést remélve, beterjesztette a Francia Tudományos Akadémiához.
Párizsban orvosa közölte vele, hogy súlyos tüdôbetegségben szenved. Majd visszatért Norvégiába, ahol súlyos anyagi gondokkal küszködött. Magánórákból és az egyetemtôl elnyert csekély támogatásból tartotta fenn magát. 1828-ban helyettesítô tanári állást kapott. Szegénysége és rossz egészségi állapota nem okozott visszaesést munkásságában.
Igen sok tanulmányt írt ez alatt az idôszak alatt fôként az egyenletek elméletérôl. Ezek egyikében adta közre az Abel-féle egyenleteknek Abel-csoportokra alapozott elméletét. Ekkorra már Abel eredményeire felfigyeltek a matematikusok, és a francia akadémikusok egy csoportja erôfeszítéseket tett a svéd-norvég királynál, hogy megfelelô pozíciót biztosítsanak számára. 1828 ôszén betegsége súlyosabbá vált és rövidesen meghalt. Halála után két nappal érkezett meg az a levél, amely állást ajánlott számára a berlini egyetemen. A Francia Tudományos Akadémia 1841-ben adta ki értekezéseit. Oslóban ma szobor hirdeti emlékét.

Al-Khwarizmi, Muhammmad ibn Musza (780-850) Arab matematikus és csillagász.
A középkori arab tudósok közül az õ munkája volta a legnagyobb hatással a matematika fejlõdésére. Két mûve maradt ránk.
A De Numero Indorum(A hindu számokról) címû mûve jutatta el az arab matematika eredményeit és az indiai számjegyekkel együtt, a helyi értékes 10-es számrendszerû számírás használatát Nyugat-Európába.
Al-Khwarizmi elferdített neve szolgáltatta a matematika algoritmus mûszavát.
Másik nevezetes munkájának, a Kitáb al-dzsabr val-mukábala(A rövidítés és a törlés tudománya) második szavából lett a mai algebra szavunk. Ez a mû, amelynek arab eredetije is megvan, lényegében azn elsõ- és a másodfokú egyenletek diszkusszióját tárgyalja.
Csillagászati és trigonometrikus táblázatait latinra is lefordították.

Bézout Étienne (1730-1783) Francia matematikus.
A franciaországi Nemoursban született. 1763-ban kinevezték a Gardes de le Marien iskola vizsgáztatójává.
Megbízták az iskola matematika tankönyvének írásával, mely 1767-ben hírnevet hozott számára.
1780-ban e négy kötetbôl álló tankönyvet további két kötettel bôvítette. Ez igen nagy segítséget nyújtott az Ecole Polytechnique iskolába felvételizôk számára. Nemcsak, mint tankönyvíró jeleskedett, hanem matematikai munkássága is figyelemreméltó volt.
1779-ben jelent meg legnevezetesebb mûve: Théorie générale des equations algebriques. Ebben foglalta össze algebrai kutatásait és állította fel a róla elnevezett tételt. A magasabb fokú egyenletrendszerre adott megoldási módszeréért 1758-ban a francia akadémia tagjának választotta.

Boole, George (1815-1864) Angol matematikus.
Hozzájárult a modern szimbolikus logika megteremtéséhez: algebrai logikája, amelyet ma Boole-algebrának neveznek, a digitális számítógépes áramkörök tervezésének alapja.
Szegény kereskedôcsalád gyermekeként nem járhatott jó iskolába, az oktatás hiányosságait autodidakta módon sajátította el. Megtanult latinul és görögül. Laplace és LAGRANGE mûveit tanulmányozva bonyolult algebrai problémák megoldásával foglalkozott. 16 éves korától egy falusi iskolában tanított, majd húsz évesen saját iskolát nyitott.
Szabadidejében matematikai szaklapokat olvasott. Ez adott indíttatást számára, hogy cikkeket küldjön be a Cambridge Mathematical Journalhoz, melyek közül az elsô 1839-ben a Research on the Theory Of Analytical Transformation (Kutatások az analitikus transzformációk elméletében) volt. E cikkek a differenciál egyenleteket és a lineáris transzformációk algebráját taglalták, különös tekintettel az invariancia fogalmára.
1844-ben fontos cikke jelent meg a Philosophical Transactions of the Royal Societyban arról, hogyan kombinálhatóak az algebrai és az analitikai módszerek. Még ebben az évben a Royal Society éremmel tüntette ki az analízis terén végzett munkájáért (a végtelen nagy és végtelen kicsiny kezelése az algebra és az analízis használatával). Hamarosan felismerte, hogy algebrája a logikában is alkalmazható, s 1847-ben kiadott egy füzetet Mathematical Analysis of Logic (A logika matematikai analízise) címmel. Meggyôzôen érvelt amellett, hogy a logikát a matematikához és nem a filozófiához tartozó tudománynak kell tekinteni, mellyel kivívta August De Morgan, angol tudós csodálatát is.
Publikációi alapján 1849-ben kinevezték a Cork megyei Queen’s College professzorává, bár nem volt semmilyen egyetemi fokozata.
1847 és 1854 között megjelent mûveiben már szerepel a logikai algebra, amelyet ma Boole-algebrának neveznek. Ez segítséget nyújtott a matematika számos területének formalizálásához. Jelentôsek még a differenciálegyenletek és a véges differenciák elméletében elért eredményei. Kísérletet tett a valószínûségszámítás általános módszerének megalkotására is. 1857-ben a Royal Society tagjává választották.

Cardano, Gerolamo (1501-1576) Olasz matematikus, fizikus, asztrológus és orvos.
Pavia és Padova egyetemein folytatott tanulmányai végeztével 1526-ban szerzett orvosi diplomát. 1534-ben Milánóban költözött, ahol eleinte nagy szegénységben élt, késôbb matematika tanári álláshoz jutott. 1539-ben beválasztották az orvosi testületbe amelynek csakhamar rektora lett. 1543-ban orvos professzor lett Paviában.
Korának egyik legkiemelkedôbb matematikusa volt. 1539-ben két aritmetikai könyve jelent meg népszerû elôadásainak anyagából. Ezek közül a legfontosabb Practica arithmetica et mensurandi singularis (A számolás és egyes mérések gyakorlata).
Ars magna sive de regulis algebraicis (A nagy tudomány, vagyis az algebrai szabályokról) címû mûve 1545-ben jelent meg. Tartalmazta a harmadfokú egyenlet megoldását (melynek ismeretét Niccoló Tartaglia velencei matematikusnak köszönhette, valamint a negyedfokú egyenletét is, amelyet Lodovico FERRARI, Cardano korábbi szolgálója talált meg. A Liber de ludo aleae (Könyv a szerencsejátékokról) az elsô rendszeres valószínûségi számításokat tartalmazó mû.
Közismertségét nagyrészt tudományos és filozófiai tárgyú könyveinek köszönhette. 1562-ben a Bolognai Egyetem professzora volt. 1570-ben eretnekség vádjával váratlanul letartóztatták, néhány hónapot börtönben töltött, utána elvesztette állását. Késôbb Rómában élt a Vatikán asztrológusaként.
Halála elôtt pár nappal fejezte be De propria vita (Életemrôl) c. önéletrajzát.

Cayley, Arthur (1821-1895) Angol matematikus.
Az elméleti matematika modern brit iskolájának megalapításában vezetô szerepet játszott. Családja Oroszországban élt, ahol apja kereskedelemmel foglalkozott. Figyelemre méltó matematikai képességei már gyermekkorában is megmutatkoztak, amikor a saját szórakoztatására bonyolult számításokat végzett. Apja (aki ekkor már Angliában telepedett le) az iskolaszék tanácsára 1839-ben beíratta a Cambridge-i Egyetem Trinity College-ába, ahol megtanult görögül, franciául, németül és olaszul, s kiváló eredményt ért el matematikából. 1842-ben három éves megbízatást kapott a Trinityben és ekkor kezdett el azokkal a matematikai feladatokkal foglalkozni, amelyek az elkövetkezô ötven évben lekötötték. Megbízatásának lejártakor matematikusi állásba nem tudott elhelyezkedni, így a londoni Lincoln’s Inn jogásztestületbe ügyvédként dolgozott 14 évig. 1850-ben ismerkedett meg James Joseph SYLVESTER-rel, aki szintén ügyvéd és matematikus volt.
Munkássága az elméleti matematika csaknem valamennyi területét érinti. 1863-ig dolgozott ügyvédként és ekkor választották meg Cambridge-ben matematika professzornak. Támogatásával – elsô ízben – nôi hallgatókat is felvettek az egyetemre. Órái igen kevés diák érdeklôdését keltették fel.
Fô érdeklôdési területe az algebra volt. Tôle származik az absztrakt csoport és mátrix fogalma. Ô alapozta meg a mátrixelméletet és új szakaszt nyitott a determinánsok elméletében. Jelentôs munkát végzett az analitikus geometriában és függvényelméletben. A véges struktúrák tanulmányozásában nélkülözhetetlen a Cayley-féle mûvelettáblázat.
Szinte minden tudományos kitüntetést megkapott; több egyetem tiszteletbeli diplomát adományozott neki, számtalan ország választotta meg rendes vagy külföldi levelezô tagjának. 1883-ban megkapta a londoni Royal Society Copley-érmét. Több ízben elnöke volt a Cambridge-i Filozófiai Társaságnak, a Londoni Matematikai Társaságnak és a Királyi Csillagászati Társaságnak.

Csebisev, Pafnutyij Lvovics (1821-1894) Csebisev (vagy ahogyan magát nevezte Csebisov) orosz matematikus és mechanikus.
A moszkvai egyetem hallgatójaként ezüstérmet nyert az Egyenletek gyökeinek kiszámítása címû dolgozatával. Mielôtt befejezte volna egyetemi tanulmányait 1841-ben megvédte A valószínûségszámítás elemi analízisének kísérlete címû magiszteri disszertációját. A következô évben Szentpétervárra költözött és az ottani egyetemen kezdett dolgozni. 1849-ben itt védte meg A kongruenciák elmélete címû doktori disszertációját. 1850-ben az egyetem professzora lett. Tanítványaiból alakult meg az orosz matematikai iskola (Ljapunov, Markov, Vinogradov). 1853-ban a Tudományos Akadémia adjunktussá, 1859-ben pedig rendes taggá választotta. Részt vett L.EULER mûveinek összegyûjtésében és sajtó alá rendezésében. Csebisev több mint 80 mûbôl álló tudományos hagyatéka nagy befolyással volt a matematika fejlôdésére, különösen a szentpétervári matematikai iskola kialakulására.
A Tyeorija szravnyenyij (Kongruenciaelmélet; 1849) címû mûve nevét széles körben ismertté tette a matematika világában, és a kötetet hosszú évekig tankönyvként használták az orosz egyetemeken. Elsôsorban a prímszámok elméletével kapcsolatos munkásságáról ismert, de jelentôsek a számelméleti, valószínûség-számítási, valamint függvénytani (függvényapproximációkra vonatkozó) eredményei is.
A számelméletben a Csebisev-tétel, a valószínûség-számításban az igen fontos Csebisev egyenlôtlenség ôrzi a nevét.

Dedekind, Richard (1831-1916) Német matematikus.
Nevéhez fûzôdik az irracionális számok aritmetikai fogalmakon alapuló egyik legfontosabb újradefiniálása. A végtelen és a valós számok tôle származó felfogása – bár jelentôségét életében nem ismerték fel – hatást gyakorolt a modern matematika fejlôdésére.
A gimnáziumot szülôvárosában, Braunschweigban végezte. Eleinte fôleg a kémia és a fizika iránt érdeklôdött. A Karoline Kollégiumban (1848-50) azonban a differenciál- és integrálszámítás, az algebra és az analitikus geometria felé fordult az érdeklôdése, s ennek jóvoltából felsôbb matematikai tanulmányokat végezhetett a Göttingai (Göttingeni) Egyetemen Karl Friedrich GAUSS irányításával. 1854-58-ban magándocensként mûködött a Göttingai Egyetemen. DIRICHLET elôadásait is látogatta.
1858-ban a Zürichi Mûegyetemen folytatta munkáját; majd 1862-ben elfogadta a braunschweigi Mûszaki Fôiskola állásajánlatát, és ott maradt viszonylagos elszigeteltségben, élete végéig. Itt dolgozta ki azt az elgondolást, hogy a racionális és irracionális számok együttesen alkotják a valós számok kontinuumát.
Irracionális számokról alkotott felfogását 1872-ben a Stetigkeit und Irrationale Zahlen (Folytonosság és irracionális számok) c. munkájában fejtette ki. Az analízisbe bevezetett geometriai módszer révén Dedekind sokat tett a végtelen nagy és a végtelen kicsi modern matematikai tárgyalásáért.
1879-ben Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (Az algebrai egész számok elméletérôl) címmel megjelent tanulmányában vezette be az ideál és a háló fogalmát.
Ô alapozta meg a gyûrûelméletet és bebizonyított egy fontos hálóelméleti tételt is. Közremûködött Riemann és DIRICHLET munkáinak kiadásában.

Descartes, René (1596-1650) Francia matematikus, fizikus és filozófus volt.
Gazdag katolikus nemesi családból származott. Nyolc évesen a jezsuiták egyik iskolájába került, ahol hadmérnöki, matematikai, metafizikai, költészeti és zenei ismeretekre tett szert. 1612-ben Párizsba ment és MERSENNE-tôl matematikát tanult. 1616-ban jogi diplomát szerzett. 1618-ban a németalföldi Bredába ment, és ott 15 hónapon át matematikát és erôdépítészetet tanult, melyet késôbb katonáskodása alatt alkalmazott. 1619-1628 között Észak- és Dél-Európában katonáskodott. Sok csatában vett részt közöttük hazánkban is, Érsekújváron. 1629-ben Hollandiában telepedett le és ott élt húsz évig. Nem nôsült meg, idejét egy általános megismerési módszer keresésének szentelte.
A skolasztika ellenfeleként hitt az értelmi megismerésben. („Gondolkodom, tehát vagyok.”) Megfogant benne a mindennemû tudományra alkalmazható egyetemes deduktív következtetési módszer elgondolása.
A királynô meghívására 1649-ben Svédországba ment az akadémia megszervezésére. Szervezete azonban nem bírta a hideg északi klímát és 1650 elején tüdôgyulladásban meghalt.
Értekezések a módszerrôl c. mûvének geometriai függelékében kifejti a geometriai alakzatok algebrai egyenletekkel való leírását. Tôle ered az ismert számértékek a, b, c, ….-vel; az ismeretlenek x, y, z, ….-vel való jelölése, a négyzet; a köb és más hatványok felsô számindexszel való jelölése (x²; x³;…..).

Diophantosz, Alexandriai (250 körül) Algebrai munkásságáról híres görög matematikus.
Életérôl keveset tudunk. Arithmetica címû 13 kötetes mûvébôl a hat elsô maradt meg. A tárgyalt sokféle probléma között szerepelnek elsô- és másodfokú határozott egyenletek, illetve elsôfokú határozatlan egyenletek. Mindenütt megelégszik a racionális számok körébe tartozó megoldásokkal, nem keres egész számúakat. Munkája legnagyobbrészt másodfokú határozatlan egyenletekre vezetô problémákat tárgyal.
Diophantos volt az elsô, aki jelöléseket vezetett be a görög algebrába. Az ismeretlen mennyiségre egyetlen szimbólumot használt (az arithmoszt); ezt meghatározatlan számú egységnek tekintette.
Munkája magán viseli a hellenisztikus és a római kor közös hagyományának nyomát.

Dirichlet, Peter Gustav Lejeune (1805-1859) Német matematikus és fizikus.
Fontos eredményeket ért el a számelméletben, az analízisben és a mechanikában. Franciaországból menekült hugenotta családból származott. Rendkívüli tehetsége hamar megmutatkozott. Göttingenben K.F.GAUSS tanítványa volt. 20 éves korában a francia akadémián bemutatott dolgozatában igazolta, hogy az x⁵+y⁵=z⁵ egyenletnek nincs 0-tól különbözô egész szám megoldása. 1827-tôl breslaui (boroszlói), majd egy évvel késôbb a berlini egyetemen tanított.
Gauss halála után elfogadta a göttingeni egyetem meghívását, és a „princeps mathematicorum” (matematikusok fejedelme) utódja lett 1855-ben. Számos, ma az ô nevével megjelölt eredménye volt a matematika jó néhány ágában. Kidolgozta az egészek általános elméletét az algebrai számelméletben.
Halála után 1863-ban adták ki ragyogó elôadásait Vorlesungen über Zahlentheorie (Elôadások a számelméletrôl) címen, mely fontos részleteket tartalmaz az ideálok elméletébôl. Összegyûjtött mûvét két kötetben adták közre: Gesammelte Werke.

Eisenstein, Ferdinand Gotthold Max (1823-1852) Német matematikus.
1843-ban kapott diplomát a Berlini Egyetemen és a következô évben 25 dolgozatot tett közzé német matematikai folyóiratokban. Munkái révén levelezés alakult ki közte és Karl Friedrich GAUSS között. A matematika professzora lett a Berlini Egyetemen, s megírta a Matematische Abhandlungen (Matematikai értekezések; 1847) címû munkát.
Röviddel azelôtt, hogy 29 éves korában meghalt, a Berlini Akadémiai tagjává választották. Számottevô eredményeket ért el a matematikai analízis területén, fôként a függvénytanban, az elliptikus integrálok elméletében, továbbá az invariáns elméletben és az algebrai geometriában. Nevét a Schönemann-Eisenstein-tétel ôrzi. T. SCHÖNEMANN (1812-1868) brandenburgi gimnáziumi tanár volt.

Eratoszthenész, Kürénéi (Kr.e.276-196) Görög csillagász, matematikus, tudós író és költô.
Az észak-afrikai Kirénében született. Alexandriában és Athénban tanult, majd Kr.e. 235 táján Ptolemaiosz egyiptomi király meghívta Alexandriába fia nevelôjének és a könyvtár igazgatójának. Idôs korára megvakult és önkéntes éhhalállal vetett véget életének.
Ô számította ki elsôként a Föld kerületét. Mint matematikus legjobban az ókori három nevezetes probléma érdekelte: a kör négyszögesítése, a szögharmadolás és a kockakettôzés. Munkáinak csak kis töredéke maradt fenn. Fô mûve a Geographika, amelyben lerakta a tudományos földrajz alapjait.
Matematikai munkásságát fôleg a Platónikosz címû dialógusából ismerhetjük meg. Nevét leginkább a prímszámok kiválogatására használt eljárása, „Eratoszthenész szitája” ôrizte meg. Grammatikai és filozófiai tárgyú munkákat is írt, valamint kidolgozott egy szökôéveket is tartalmazó naptárt.

Erdôs Pál (1913-1996) Világhírû magyar matematikus.
A MTA 1956-ban választotta tagjának. Szülei matematika tanárok voltak, így fiuk tehetségét hamar felismerték. Középiskolásként a Középiskolai Matematikai Lapok egyik legeredményesebb feladatmegoldója volt. Elsô számelméleti cikkét – mely egy csapásra megalapozta hírnevét – még egyetemista korában írta Kalmár László segítségével.
1934-ben szerzett doktori fokozatot, amelyet rögtön egy Manchester-be szóló meghívás követett. Négy évet töltött itt, majd 1938 és 1945 között az USA-ban élt. 1945 után sokat utazott, rövidebb-hosszabb idôt töltött Magyarországon, Angliában, Kanadában és Ausztriában. A halál egy varsói konferencián érte utol 1996-ban.
„Ahány ház annyi tétel”- mondta egyszer Erdôs Pál és eszerint is élt. A XX. század kétségkívül legtermékenyebb matematikusa 1446 könyvet és cikket írt. Cikkei nagy részét szerzôtársakkal együtt írta, gyökeresen megváltoztatva a matematikai kutatás jellegét.
Elképesztôen sokoldalú matematikus, kutatási területe átfogja a számelméletet, a kombinatorikát, a halmazelméletet, a valószínûség számítást, a topológiát, a komplex és valós függvénytant. Eredményei közül talán a prímszámtételre SELBERG-gel közösen adott elemi bizonyítás emelhetô ki.
Nyolc akadémiának volt tagja és hat egyetemnek díszdoktora. 1958-ban részesült Kossuth és 1983-ban Állami-díjban, neki ítélték a Szele Tibor emlékérmet is. Ô volt az elsô magyar matematikus, aki megkapta a matematikai Nobel-díjnak tekinthetô Wolf-díjat. Számos díjat alapított matematikusok számára, ezen kívül külön összeget ajánlott fel egy-egy probléma megoldásáért. Rendkívül közvetlen, jó szándékú és jó humorú egyéniség volt, akinek mondásai, szokásai, a vele kapcsolatos anekdoták sokáig fenn fognak maradni a matematikusok körében.

Eukleidész (Kr.e.300) Görög matematikus.
Életérôl annyit tudunk biztosan, hogy I. Ptolemaiosz idejében Alexandriában tanított, és matematikai iskolát alapított.
Két anekdota ismeretes hozzá kapcsolódóan. Proklosz írta le, hogy I.Ptolemaiosz királynak arra a kérdésére: Miként lehetne a geometriát könnyen elsajátítani? Euklédész azt felelte: „A geometriához nem vezet királyi út.”
A másik elbeszélés szerint, amikor egyik tanítványa megkérdezte az alexandriai mestertôl, hogy mi haszna van a geometria tanulásnak, Euklidész így szólt egyik rabszolgájához: „Adj ennek az embernek három oboloszt, mert hasznot akar húzni tanulmányaiból.”
Pappos szelíd, béketûrô, segítôkész embernek jellemezte Euklidészt. Legismertebb mûve a Stoicheia (Elemek) 15 könyve; melyek közül azonban a tizennegyedik valószínûleg Hüpsziklésztôl való, az utolsó pedig a VI. században keletkezett. Ez a matematika elemeinek legrégebbi ránk maradt rendszeres összefoglalása, melyet már az ókorban nagyra becsültek, s mely tekintélyébôl még ma sem veszített. A Stoicheia összefoglaló írásmû, de csak a geometria és az aritmetika elemeit tartalmazza. Mint a legtöbb összefoglaló mû, ez is forrásmunkák alapján íródott. Az axiomatikus tárgyalásában Euklidész Stoicheia-ját évezredekig nem sikerült felülmúlni. A mûvet nem az eredetiség, nem a matematikai alkotás tette halhatatlanná, hanem a korát meghaladóan kifinomult deduktív módszer.
A IX. könyve tartalmazza annak a bizonyítását, hogy végtelen sok prímszám van.
A mû arab fordításban maradt ránk. A XII.században fordították le latinra és a XV.században több nyelven is megjelent. Magyarul elôször csak néhány tétele jelent meg 1655-ben Apáczai Csere János Magyar Encyklopedia-jában. A teljes könyvet elôször 1865-ben Brassai Sámuel fordította le magyar nyelvre.

Euler, Leonhard (1707-1783) Svájci matematikus és fizikus.
Kálvinista lelkész fiaként született Baselben. Teológiát kezdett tanulni, de több kedvet érezve a matematikához, Johann Bernoulli tanítványa lett. Kiváló eredménnyel végezte el az egyetemet, de állást mégsem sikerült szereznie.
1727-ben Szentpétervárra költözött, s a Szentpétervári Tudományos Akadémián tevékenykedett. 1735-ben fél szemére megvakult. Késôbb, 1741-ben Nagy Frigyes meghívására a Berlini Akadémia tagja lett, s itt 25 éven át lankadatlanul publikált, sok tanulmányát a Szentpétervári Akadémia számára írta, amelytôl életjáradékot kapott.
1766-ban II. Katalin cárnô hívására visszatért Szentpétervárra. Kétszer nôsült és tizenhárom gyereke volt.
59 éves korára teljesen elvesztette szeme világát, de haláláig tovább dolgozott. Felfedezéseit káprázatos emlékezôtehetséggel vakon diktálta tanítványainak. Életében 530 könyvet és értekezést írt; halála után sok kéziratot hagyott hátra, amelyet a Szentpétervári Akadémia 47 éven át tett közzé. Gustav Enestrom kutatásai révén mûveinek száma 886-ra emelkedett.
Egyike volt a legtevékenyebb és legsokoldalúbb matematikusoknak, akiknek nevéhez számos felfedezés fûzôdik.
Alapvetô munkát végzett a geometriában, a differenciál- és integrálszámításban, a mechanikában, valamint a számelméletben. Az 1770-ben megjelent Vollständige Anleitung zur Algebra (Teljes algebrai bevezetés) c. mûve, amely a harmad- és negyedfokú algebrai egyenletek elméletét adja.
Sok máig is használt felsôbb matematikai jelölést vezetett be. Neve többek között fennmaradt az Euler-féle poliéder tétel és a háromszög Euler-vonala elnevezésekben.
A matematika mellett foglalkozott fizikával, mechanikával és csillagászattal is. Könyvet írt a hidraulikáról, a hajótervezésrôl, a tüzérségrôl.
Mintegy 40 évvel halála után sok kiadatlan munkáját találták meg, amelyek két nagy kötetben Opera posthuma néven jelentek meg.
GAUSS joggal írta, hogy „Euler mûveinek tanulmányozása mindig a legjobb iskola lesz …és semmi más nem helyettesítheti.”

Fermat, Pierre de (1601-1665) Francia matematikus,
A modern számelmélet megalapítója.
Dél-franciaországi kereskedô családból származott. Egy helyi ferences iskolában végezte alapfokú tanulmányait, majd jogot tanult Toulouse-ban. Megkedvelte az idegen nyelveket, a klasszikus irodalmat, a természettudományt és a matematikát. 1629-re belefogott az Kr.e.III. századi görög matematikus, Apollóniosz Plane loci (Síkmértani helyek) c. munkájának rekonstruálásába. 1631-ben szerzett jogi végzettséget az Orléans-i Egyetemen. 1634-ben a toulouse-i helyi bíróságnak lett tanácsosa. Valamikor 1638 elôtt kezdte használni a nemességre utaló Pierre de Fermat nevet. 1638-ban kinevezték a büntetôbíróságra.
Csak szabadidejében foglalkozott matematikával. Sajnos mûveit nem hozta nyilvánosságra.
Jelentôs eredményeit csak személyes beszélgetések és levelezés útján közölte kora matematikusaival.
Munkáinak java csak halála után látott napvilágot, 1679-ben és késôbb.
Fermat rakta le a modern számelmélet alapjait és dolgozta ki a koordinátamódszert DESCARTES-ot megelôzôen. A differenciálszámítás egyik elôkészítôje volt.
1640-ben Blaise Pascalhoz írt levélben Fermat leírta azt a meglátását, hogy alakú. Fermat-számok néven ismertté vált számok szükségképpen prímek. Egy évszázaddal késôbb azonban Euler kimutatta, hogy az állítás már k=5 esetre sem igaz.
Fermat meglátásai közül vitathatatlanul a legismertebb a „nagy Fermat-tétel”. Ezt Diophantosz Aritmetica-jának margójára jegyezte le, azt állítva, hogy ha x,y,z pozitív egészek, és n>2 egész szám, akkor az xⁿ+yⁿ=zⁿ egyenletnek nincsen megoldása a természetes számok körében. 1908-ban Wolfskehl német matematikus százezer márka jutalmat ajánlott fel a Göttingeni Tudományos Társaságnak a megoldásért.
Fermat n=4-re, EULER n=3-ra és Kummel n < 100 esetére talált bizonyítást. Teljes bizonyítást a tételre 1993-ban adott Andrew Wiles angol matematikus.
Másik nevezetes számelméleti tétele a „kis Fermat-tétel” és a Fermat-féle prímek fontos szerepet töltöttek be a matematika fejlôdésében.

Ferrari, Ludovico (1522-1565) Olasz matematikus.
Ferrari szegény családból származott, és már 15 éves korában a neves olasz matematikus, Gerolamo Cardano szolgálatában szegôdött mint kifutófiú. CARDANO elôadásait látogatva, latint, görögöt és matematikát tanult. 1540-ben nyilvános matematika-elôadó lett Milánóban. Ebben az idôben talált megoldást a negyedfokú egyenletre. Ezt Cardano publikálta Ars magna (Nagy mûvészet; 1545) c. mûvében. A cikk megjelenése után Ferrari híres vitát folytatott az ismert olasz matematikussal, Niccoló Tartagliával a harmadfokú egyenlet megoldásáról. Tudásukat 1548-ban mérték össze Milánóban egy matematikai mérkôzésen, amelyen Ferrari diadalmaskodott. Ez a siker azonnal hírnevet hozott neki, s elhalmozták magas állásajánlatokkal.
Végül Ercole Gonzaga bíborosnak, Mantova kormányzójának meghívását fogadta el. Az adókivetôk ellenôrének nevezték ki, és hamarosan gazdag lett. Késôbb gyenge egészségi állapota, valamint a közte és a bíboros között kialakult vita arra késztette, hogy lemondjon tisztségérôl. Ezután matematikaprofesszori állást fogadott el a Bolognai Egyetemen. Nem sokkal kinevezése után meghalt.

Frobenius, Georg Ferdinand (1849-1917) Német matematikus.
Egyetemi tanulmányait Göttingenben és Berlinben végezte. Tanárai között volt E.Kummer, L. KRONECKER és K. Weierstrass.
1875-tôl a zürichi Szövetségi Mûegyetem, majd 1893-tól a berlini egyetem professzora.
A csoportelméletben, a kvadratikus alakok elméletben, a mátrixelméletben, a számelméletben és a differenciál egyenletek területén ért el jelentôs eredményeket.
A véges csoportok elméletében a Frobenius-tétel ôrzi nevét. Kidolgozta az absztrakt csoportok elméleti alapjait. Ezzel kapcsolatos felfedezéseit Über Gruppen von vertauschbaren Elementen (A permutálható elemû csoportokról) címmel publikálta 1879-ben.
E.Cartan és ô alapozta meg a hiperkomplex számok elméletét. A véges algebrák körén belül bevezette a radikál, a faktoralgebra, az egyszerû és a félig egyszerû algebra fogalmát.

Galois, Évariste (1811-1832) Tragikus sorsú francia matematikus.
A csoportelmélet megalapozója. Egy Párizs melletti kisváros polgármesterének fiaként született. Anyja egy párizsi egyetemi tanár leánya volt. Galois 12 éves koráig a szülôi házban nevelkedett. Ezután került a híres Louis-le-Grand Gimnáziumba. Itt kezdte el tanulmányozni ABEL és LEGENDRE mûveit, nemsokára pedig már önálló eredményeket is produkált. Életét hamarosan csalódások és tragédiák keserítették meg.
A Tudományos Akadémiához benyújtott 3 értekezése elkallódott. Az egyiket Cauchy, a másikat Fourier veszítette el. Felvételi dolgozatát a francia matematika legszínvonalasabb iskolájába, az École Polytechnique-be kétszer is elutasították. Harmadszorra eljutott a szóbeliig, de az botrányba fulladt.
Végül 1829-ben beiratkozott a kevésbé rangos Écola Normale Supérieure tanárképzôbe.
Részt vett az 1830-as forradalomban, ezért kicsapták az iskolából és több hónapi börtönre ítélték. Kiszabadulása után egy provokált párbajba keveredett és halálos lövést kapott. Halála elôtti éjszakáján vetette papírra a mai modern algebra alapgondolatait. Megmutatta, hogy melyek azok az egyenlettípusok, amelyeket algebrailag, tehát csak a négy alapmûvelettel és gyökvonással oldhatunk meg. Ezzel végleges feleletet adott az algebrai egyenletek több száz éves problémájára.
Galois tudományos végrendeletét barátjának címezte kérve ôt, hogy ha valami baja történnék, közölje felfedezéseit kora matematikusaival. A mû megmentése azonban Liouville érdeme, aki Galois halála után 14 évvel leközölte azt lapjában.
Tragikus életérôl Infeld írt regényt, Akit az Istenek szeretnek címmel.

Gauss, Carl Friedrich (1777-1855) Német matematikus, fizikus és csillagász.
Matematikai alkotásaival kiérdemelte a „princeps mathematicorum”, a matematikusok fejedelme címet. Korának kétségtelenül legnagyobb matematikusa, aki megújította szinte az egész matematikát. Tehetsége láttán tanárai és szegény sorsú szülei Braunschweig hercegéhez fordultak, aki anyagi támogatást nyújtott Gaussnak ahhoz, hogy elvégezhesse a gimnáziumot, majd a Göttingeni Egyetemet. 1799-ben kapta meg a doktori fokozatot az algebra alaptételének bizonyításáért: eszerint minden algebrai legalább elsôfokú egyenletnek van komplex gyöke.
A fiatal Gauss, mint naplója tanúsítja, szinte naponta tett egy jelentôs felfedezést. Ezek egy részét soha sem publikálta. Közéjük tartozott a nem euklidészi geometriával kapcsolatos eredményei. 1801-ben napvilágot látott Disquisitiones arithmeticae (Aritmetikai vizsgálatok) címû mûve.
Ebben részletesen foglalkozott a kongruencia elméletével. Elért eredményeit sikerrel alkalmazta is algebrai, számelméleti és geometriai egyenletek megoldására. Algebrai-számelméleti úton meghatározta, hogy körzôvel és vonalzóval mely oldalszámú szabályos sokszögek szerkeszthetôk meg. Még egyetemi hallgatóként 1796-ban megtalálta a 17 oldalú szabályos sokszög megszerkeszthetôségének bizonyítását. 1801-ben új pályaszámítási módszert dolgozott ki az égitestekre, s ezt 1809-ben a Theoria Motus Corporum Coelestium (Az égitestek mozgásának elmélete) c. könyvében közölte.
1807-ben a matematika professzora és a csillagvizsgáló intézet igazgatója lett Göttingenben, itt dolgozott élete végéig. 1820-tól kezdett el geodéziával foglalkozni. Megpróbálta meghatározni a Föld alakját, és ennek alapján kidolgozta a görbült felületek elméletét. Elgondolásait tanítványa, Bernhard Riemann fejlesztette tovább.
Gauss az 1830-as években kezdett el fizikai problémák matematikai megoldásával foglalkozni. Wilhelm Weber fizikussal az elektromágnesség kutatásában folytatott együttmûködése elôkészítette az elektromos távíró feltalálását. Kiemelkedô eredményeiért sok akadémia és tudományos társaság választotta tagjává.
Halálának emlékére a hannoveri fejedelem érmet veretett. Ezen szerepel elôször a matematikusok fejedelme titulus. Szülôvárosában lévô szobrának talapzata szabályos tizenhétszög alakú, emlékeztetve elsô felfedezésére. Agyát a göttingeni egyetemen ôrzik.

Goldbach, Christian (1690-1764) Német matematikus.
Tôle származik a számelméleti Goldbach-sejtés.
Goldbach 1725-ben lett a szentpétervári Birodalmi Akadémia matematika-professzora és történésze. 1728-tól Moszkvában élt II. Péter cár nevelôjeként, 1742-tôl az orosz külügyminisztériumnak volt állandó munkatársa.
A nevét viselô sejtést 1742-ben fogalmazta meg elôször Leonhard EULER svájci matematikushoz írt levelében. Ebben azt állította, hogy minden páros szám elôállítható két prímszám összegeként, és minden 6-nál nem kisebb természetes szám kifejezhetô három prímszám összegeként.
Válaszában Euler megjegyezte, hogy az állítás igazolásához elég lenne belátni, hogy minden páros szám felbontható két prímszám összegére. Ezt az ún. Goldbach-féle sejtést a mai napig nem sikerült sem megcáfolni, sem teljesen bizonyítani.
A második sejtést VINOGRADOV orosz matematikus 1937-ben részben bebizonyította, és az eddigi legutolsó lépést a magyar Rényi Alfréd tette meg 1947-ben. Goldbach fontos eredményeket ért el a görbeelméletben, a végtelen sorok és a differenciálegyenletek elméletében is.

Hadamard, Jacques-Salomon (1856-1963) Kiváló francia matematikus.
1892-ben doktori értekezésének tárgya a függvények Taylor-sorba fejtése. Ugyanebben az évben az egész függvényekrôl írt munkájával elnyerte a matematikai tudományok nagydíját. 1897-tôl a párizsi Collége de France, 1912-tôl École Polytechnique és 1920-tól az École Centrales des Arts et Manufactures professzora volt. Ekkor lett a francia Akadémia tagja.
A második világháború alatt az amerikai Columbia Egyetemen tanított. 1947-ben visszatért hazájába. Eredményes kutatási területei: a számelmélet, a függvénytan, a klasszikus analízis, a variációszámítás, a differenciálegyenletek és a matematikai fizika voltak.
1896-ban Hadamard – a belga Charles Jean de la VALLÉE- POUSSIN-tól függetlenül – bebizonyította a prímszámtételt. Elemi bizonyítást 1949-ben erre a tételre SELBERG és ERDÔS PÁL talált.
Lecons sur le calcul des variations (Elôadások a variációszámításról; 1910) c. mûvével hozzájárult a modern funkcionálanalízis elméleti alapjainak lefektetéséhez.
Munkájának egy részében determinánsokkal is foglalkozott, s ez fontos szerepet játszott az integrálegyenletek elméletében.
Mintegy 325 tudományos közleménye mellett a tankönyvírásra is jutott ideje.

Hasse, Helmut (1898-1979) Német matematikus.
A II. világháborúban a Birodalmi Tengerészeti Hivatal Kutató Intézetét vezette. A Humboldt Egyetem (1945) és a hamburgi egyetem professzora (1950-66).
Fô kutatási területe a számelmélet és az algebra, az algebrai számtestek és a kvadratikus formák elmélete volt. Több, a modern algebrai számelméletet tárgyaló könyvet írt.

Héron, Alexandriai (I.század) Görög matematikus, mérnök és feltaláló.
Életérôl szinte semmit se tudunk. Nagy bizonnyal Alexandriában élt és dolgozott.
Sokoldalú, széles érdeklõdésû egyéniség volt. Pontosan beszámolt a 62-ben lefolyt holdfogyatkozásról. Eredményeket ért el a mechanika területén. Ô találta fel az eolipilt, az elsô gôzhajtású gépet.
Matematikai írásai gyûjteményes jellegûek, s éppen ezért igen nehéz elválasztani az általa feltalált eredményeket a másokétól. Munkáiban könnyû kimutatni az egyiptomi hindu, babiloni vagy éppen az enklidészi hatást.
Eredetiben maradt ránk a Metrika címû munkája, melyet csak 1896-ban találtak meg. Ebben felsorolja azokat a módszereket, amelyekkel meghatározható a síkidomok területe, a testek felszíne és

közelítô értéke.
A háromszög területét számító „Héron-képlet”, amelynek geometriai bizonyítását adta, minden bizonnyal Arkhimédész felfedezése. Az egységtörtekkel való mûveletek egyiptomi befolyást mutatnak. A szabályos testek térfogatképletei Eukleidészt juttatják eszünkbe.
Jelentôs munkája a földmérés tankönyve, a Dioptrika is. Héron nagy érdeme, hogy széles áttekintést adott az ókori mértanról és nélküle a földmérés ókori módszereirôl szinte semmit sem tudnánk.

Horner, William Georg (1786-1837) Angol matematikus.
Szülôvárosában, Bristolban élt 1809-ig, majd Bath-ban az általa alapított iskolában tanított matematikát élete végéig.
Nevét a matematikatörténetben a Ruffini-Horner néven ismert gyökközelítô módszer ôrzi, amely alkalmas a magasabbfokú polinomok helyettesítési értékeinek mechanikus kiszámítására.
A „Horner-módszert” már használta a XV.századbeli al-Kási perzsa matematikus, sôt ismerték a kínai Szung-dinasztia (960-1279) matematikusai is. E módszer jelentôsége napjainkban megnôtt a számítógépes feldolgozással.

Kronecker, Leopold (1823-1891) Német matematikus.
Gimnáziumi tanárának, Ernst Kummernek a hatására fordult a számelmélet felé. A Berlini Egyetemen tanult és 1845-ben doktorált. Tanárai között volt Steiner és DIRICHLET. Az egyetem elvégzése után üzletemberként tevékenykedett és nagy vagyonra tett szert.
1861-tôl 1831-ig a Berlini Egyetemen tanított, majd 1883-ban ugyanott Kummer utódaként kapott professzorságot. A Magyar Tudományos Akadémia külsô tagjának választotta.
Kronecker elsôsorban számelmélettel és algebrával foglalkozott. Fôként az elliptikus függvényekrôl, az algebrai egyenletekrôl, ill. az algebrai számok elméletérôl közölt fontos dolgozatokat. Egész munkásságára jellemzô az erôs meggyôzôdés a matematika aritmetizálásának a szükségességérôl. Az egész matematikát a számelmélethez hasonló módon a természetes számokra akarta felépíteni. Mint mondta: „Az egész számokat az Isten alkotta, minden más az embertôl származik.”
A tényleges végtelent tagadta. Egy tételt csak akkor fogadott el, ha azt véges számú lépésben tudta igazolni. Legnagyobb elvi ellenfele, ugyancsak a berlini iskola tagja, Georg Cantor volt.

Lagrange, Joseph Louis (1736-1813) Francia matematikus, fizikus és csillagász.
Torinoban született olasz és francia szülôk tizenegyedik gyermekeként. Iskolái elvégzése után a torinoi tüzérségi iskolában tanított matematikát. Már fiatalon nagy hírnévre tett szert, variációelméletét EULER is nagyra tartotta.
1764-ben a Hold librációjával (vagyis az égitest mozgásában megfigyelt ingadozásokkal) kapcsolatos értekezésért megkapta a Párizsi Tudományos Akadémia díját.
1766-ban Nagy Frigyes porosz király Berlinbe hívta EULER helyére azzal az indokkal, hogy „Európa legnagyobb geométerének a legnagyobb király mellett kell élnie.” Lagrange elfogadta a meghívást és húsz évig maradt Berlinben.
Mindvégig bámulatosan termékeny volt. Értekezéseket publikált a differenciálegyenletekrôl, a prímszámok elméletérôl, a tévesen EULER-nek tulajdonított, alapvetôen fontos számelméleti egyenletrôl, a valószínûségszámításról, a mechanikáról, valamint a Naprendszer stabilitásáról. Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Észrevételek az egyenletek algebrai megoldásával kapcsolatban; 1770) c. terjedelmes dolgozata új korszakot nyitott az algebra történetében, és E.GALOIS-t a csoportelmélet kidolgozására ösztönözte.
Frigyes halála után elfogadta XVI. Lajos párizsi meghívását. Külön lakosztályt kapott a Louvre-ban, többször is kitüntették, és a francia forradalom idején is végig tisztelettel bántak vele. Ekkor írta a Méchanique analitique (Analitikus mechanika) címû mûvét, amely összefoglalja, és a mechanikára alkalmazza a matematika újkori eredményeit.
1795-ben az École Polytechnique megnyitása után Lagrauge lett a francia mûegyetem vezetô matematikaprofesszora. 56 éves korában nôsült meg, egy barátjának nála 40 évvel fiatalabb lányát vette el. A korosodó matematikust Napóleon is megbecsülte, kinevezte szenátorrá, és grófi címet adományozott neki.
A számelmélet, az analízis, az elméleti csillagászat és az égitestek mechanikája területén elért eredményeirôl híres.
Nevét ôrzi többek között a véges csoportokra vonatkozó Lagrange-tétel.

Legendre, Adrien-Marie (1752-1833) Francia matematikus.
A párizsi École Militaire matematikaprofesszora volt 1775-tôl 1780-ig. 1795-ben az École Normale professzora, majd az École Polytechnique examinátora lett. Több kisebb kormányzati posztra nevezték ki, de sohasem kapott a képességeinek megfelelô hivatalt kollégájának, Pierre-Simon Laplace-nak a féltékenysége miatt, aki Legendre eredményeit csekély elismeréssel fogadta.
Nagyszerû fôiskolai tankönyvei és az 1794-ben kiadott Elements de géométrie (A geometria elemei) hosszú ideig irányt mutató mûvek voltak. Geometriája azért is fontos, mert elôször szakított a merev euklideszi axiomatikus tárgyalásmóddal. Ô adott egyszerû bizonyítást a irracionális voltára.
1798-ban jelent meg az Essai sur les nombres (Értekezés a számokról) címû könyve. 1830-ban ugyanezt a mûvet a XIX. század legújabb számelméleti eredményeivel kiegészítve Théorie des nombres (Számelmélet) címen ismét kiadta. Ebben szerepelt a kvadratikus reciprocitás törvényének a bizonyítása is.
Komoly tudományos eredményeket ért el a függvénytanban is. Az elliptikus integrálokkal kapcsolatos felfedezéseit Traité des fonctions elliptiques (Értekezés az elliptikus függvényekrôl) címû mûvében tette közzé.
Fontos eredményeket ért el a geodéziában és a csillagászatban is.

Mersenne, Marin (1588-1648) Francia matematikus, temészetfilozófus és teológus.
1611-ben Párizsban belépett a római katolikus minorita kolduló szerzetesrendbe, 1614-tôl 1619-ig Nevers-ben, a rend kolostorában filozófiát tanított. Szenvedélyesen szembeszállt az alkímia, az asztrológia és hasonló titokzatos tudományok misztikus tanaival, erôteljesen támogatta a természettudományokat. Párizsban a L’Annonciade-kolostorban filozófiát tanított, majd 1620-tól sokfelé utazott Nyugat-Európában.
Mersennnne egyik legfontosabb szerepe az, hogy hosszú idôn át összekötô kapcsot jelentett Európában élô természettudósok és filozófusok között. Rendszeresen találkozott és hosszú leveleket váltott kora kiválóságaival – közéjük tartozott DESCARES, FERMAT, Pascal és Galilei. Azt mondták, hogy „Mersenne-t tájékoztatva egész Európa értesül a fölfedezésrôl”.
A számelmélettel foglalkozott, s a nevét ôrzik a 2^p-1 alakú, ún. Mersenne-féle számok (ahol p prímszám). A formula, amelyet elôször Mersenne írt fel 1644-ben, nem ad prímszámot p minden prímszámértékére, de hosszú idôn át fontos szerepe volt a prímszámok tanulmányozásában, újabb prímszámok megtalálásában.
1636-ban megmérte a hang terjedési sebességét.
Közzétett munkái közé tartozik a La Verité dans les sciences (Igazság a természettudományokban) és a Harmonie universelle (Egyetemes harmónia) c. kötete.

Moivre, Abraham de (1667-1754) Francia matematikus.
Hugenotta volt, 1685-ben a nantes-i ediktum visszavonása után bebörtönözték, mint protestánst. Röviddel késôbb szabadon bocsátották, ekkor Angliába menekült. Londonban Sir Isaac NEWTON és Edmond Halley csillagász közeli barátja lett. A londoni Royal Society (Királyi Társaság) 1697-ben választotta tagjává, késôbb a berlini és a párizsi akadémia tagja lett. Kiváló matematikus volt, mégsem tudott soha állandó álláshoz jutni.
1711-ben írt egy hosszú tanulmányt De mensura sortis (A szerencse mérésérôl) címmel, melynek kibôvített alakja 1718-ban jelent meg Doctrine of Chances (Az esélyek tana) címen. Benne mintegy ötven valószínûségszámítási problémával foglalkozik.
Moivre a valószínûségszámítás elveit az események matematikai várható értékébôl vezette le.
Tôle származik az n! értékét megközelítô Stirling-formula, melyet tévesen tulajdonítanak az angol James Stirlingnek.
Az elsôk között használt komplex számokat a trigonometriában. A nevét viselô képletnek vagyis a (cos x + i sin x)ⁿ=cos nx+i sin nx egyenlôségnek fontos szerepe volt abban, hogy a trigonometria a geometria birodalmából átkerült az analízisbe.

Möbius, August Ferdinand (1790-1868) Német matematikus és elméleti csillagász.
Elsôsorban analitikus geometriai és topológiai eredményeirôl ismert, nevezetesen arról, hogy ô volt a Möbius-szalag egyik felfedezôje. Ez a kitûnô geométer szerénysége miatt csak jelentéktelen csillagászként élte le életét.
Schulzfortban született. Apja tánctanár volt.
Az 1813-1814-es években Göttingenben GAUSS csillagászati elôadásait hallgatta, és 1816-ban már megfigyelô csillagászként mûködött. Pleisenburgban, majd 1818-ban az obszervatórium igazgatója lett. 1815-tôl az igazgatói állását is megtartva a Lipcsei Egyetem csillagászprofesszora.
Matematikai dolgozatai 1828 és 1858 között fôként a Crelle’s Journalban jelentek meg elsôsorban geometriai témákról.
Möbius több dolgozatában azokat a módszereket fejlesztette tovább és alkalmazta, amelyeket a Der barycentrische Calkul (Súlypontszámítás) c. mûvében írt le. Ebben a munkájában vezette be az analitikus geometriába a homogén koordinátákat.
Möbius a topológia egyik úttörôje volt. A Tudományos Akadémia számára készített, halála után felfedezett tanulmányában az egyoldalas felületek tulajdonságait tárgyalta; e felületek közé tartozik a róla elnevezett Möbius-szalag.
A számelméletben a Möbius-függvény, a komplex függvény-tanban a Möbius-transzformáció ôrzi a nevét.
Munkásságát csak az utókor ismerte el. Összegyûjtött munkái 1885 és 1887 között Gesammelten Werke címmel jelentek meg négy kötetben.

Newton, Sir Isaac (1642-1727) Kiváló angol fizikus, matematikus és csillagász.
A lincolni grófságban lévô Woolsthorpe-ban született egy kisbirtokos egyetlen fiaként. Apja még születése elôtt meghalt. Anyja késôbb férjhez ment egy paphoz. A kis Newton hanyag és rossz tanulóként kezdte pályafutását. Ezért a másodszor is megözvegyült anyja azt akarta, hogy fia az idôközben megnövekedett birtokon gazdálkodjon. Hamar kiderült azonban az ötlet képtelensége, és Newton visszakerült a granthami középiskolába, 1661-ben pedig a cambridge-i Trinity College hallgatója lett.
Ekkor kezdett el komolyabban foglalkozni matematikával és természettudományokkal. Kepler, EUKLEIDÉSZ, DESCARTES és VIÉTE mûveit tanulmányozva hamarosan új matematikai felfedezéseket tett. 1665-ben elnyerte a filozófiai baccalaureatust, majd a kitört pestisjárvány elôl szülôfalujába menekült, s itt folytatta munkáját.
Felfedezte a binomiális tételt, a differenciálszámítást (amelyet fluxiószámításnak nevezett) és az integrálszámítást. 1667-ben visszatért Cambridge-be és magiszteri fokozatot szerzett fizikából. 1669-ben professzora, Barrow átadta tanszékét a 27 éves Newtonnak, aki 30 éven keresztül látta el lelkiismeretesen professzori teendôit. Az elôadásai nyomán született meg az Optika címû mûve. 1672-ben a Royal Society (Királyi Társaság) tagjává választották. A már 1666-ban felfedezett tömegvonzási tételt és az analízis alaptételét csak 1687-ben publikálta a Philosophiae naturalis principia mathematica (A természettudomány matematikai alapjai) címû fômûvében. Ennek a mûnek köszönheti tudományos tekintélyét.
1689-tôl parlamenti képviselô. Az egyetemet képviselte, de az üléseken soha nem szólalt fel.
Életében törést jelentett anyja halála és 1692-ben kezdôdô betegsége. Ezután már nem tett semmilyen fontos felfedezést. Életének utolsó éveit beárnyékolta Leibniz-vel folytatott elsôbbségi vitája.
1695-ben Anna királynôtôl lovagi címet kapott (elsô alkalommal tüntettek ki tudóst ily módon).
1699-ben a pénzverde igazgatója és a párizsi akadémia tagja lett.
1703-tól a Royal Society elnöki tisztét töltötte be.
Nyolcvan éves kora után visszavonult a családi birtokra, majd nyolcvanöt éves korában hunyt el. Londonban, a westminsteri apátságban temették el.
Bár Newtont a fizika sorolja a legnagyobbjai közé, a matematikus Newton is nagyot alkotott.
Leibniz-vel együtt a differenciál- és integrálszámítás feltalálója volt.
A binomiális tétel tört- és negatív kitevôk esetére való általánosítása nyomán felfedezte a binomiális sorokat.

Püthagorasz (Kr. e 570-480) Görög matematikus, filozófus
Legendákkal körülvett életébôl alig ismerünk valamit. Szamosz szigetén született és 22 évet Egyiptomban élt. Tanult Babilonban, Indiában, Perzsiában. Kapcsolatban volt Thalész-szel. Igen széles látókörû, a tudományokat mûvelô, a filozófia és matematika iránt szenvedélyesen érdeklôdô személyiség volt.
Utazásaiból visszatérve Krotónban telepedett le és iskolát alapított, amely igen gyorsan híressé vált. Az iskola egyben vallási-, erkölcsi-, és politikai egyesület is volt.
Ez az iskola testi, mûvészi és fôleg tudományos gyakorlatok középpontja lett, s a matematikát egészen a IV.század közepéig fôként a „pythagoreusi iskola” mûvelte – így tehát érthetô, hogy felfedezéseit nem lehet különválasztani a tanítványok eredményeitôl.
A nevét viselô tétel, sokak szerint nem tôle származik, hiszen már elôtte nyomára akadhatunk Egyiptomban és Babilóniában.
Filozófiai tanításában az egész számok centrális szerepet játszottak, mint minden létezô lényegi alapja.
Az irracionális számok felfedezésén kívül neki és az általa alapított iskolának köszönhetô az elsô számelméleti felfedezések és a szabályos testekrôl szerzett elsô ismeretek.
Püthagorasz alapvetô módszere a geometria és az aritmetika módszereinek egyesítése volt.
Valószínûleg az elsôk között jutott arra a következtetésre, hogy a Föld gömb alakú és a világmindenség közepe.

Rolle, Michel (1652-1719) Francia matematikus.
Tanulmányait önállóan végezte. Elôször ügyvéd mellett írnokként dolgozott, majd 1675-ben Párizsba ment.
1685-ben a Párizsi Tudományos Akadémia tagjává választották. 1682-ben megoldott egy olyan feladatot, melyet egy korabeli híres matematikus, J. Ozanam nem tudott megoldani.
1690-ben megjelent mûvében, a Traité d’ algébre (Algebrai tanulmányok)-ban fôleg algebrai egyenletek valós gyökei szétválasztásának kérdéseivel foglalkozott.
Az itt megadott eredmények nem esnek távol annak a tételnek az állításától, amely ma a nevét viseli.
Ez a tétel azt mondja ki, hogy ha egy zárt intervallumban folytonos és differenciálható függvény a végpontokban ugyanazt a helyettesítési értéket veszi fel, akkor az intervallum belsejében legalább egy pontja van, melyben elsô differenciálhányadosa nulla.
Hosszú ideig bírálta R. DESCARTES és G. Leibnitz munkáit a végtelen kis mennyiségekkel való számolással kapcsolatban. Habár kritikája az esetek többségében nem volt megalapozott, mégis ez késztette Leibnitzet arra, hogy módszerének szigorú alapozást adjon.

Ruffini, Paolo (1765-1822) Olasz matematikus és orvos.
Apja Valentanoban volt orvos. Paolo tizenéves volt, mikor családjával Modenahoz közel fekvô Reggioba, Észak-Olaszország Emilia-Romagna tartományába költözött.
1783-tól a modenai egyetem hallgatója lett, ahol matematikát, orvostant, filozófiát és irodalmat tanult.
1787-ben kinevezték a modenai egyetem matematikaprofesszorává, 1799-ben a klinikai orvostan és az alkalmazott matematika professzora lett. Hét évig tanított alkalmazott matematikát és modenai katonaiskolában, a késôbbi olasz katonai akadémián.
Mivel megtagadta a polgári eskü letételét, a kormány egy évre felfüggesztette állásából. Ekkor kezdett el ismét betegekkel foglalkozni, de a gyógyítás mellett maradt a matematikára is ideje.
1814-ben a modenai egyetem rektorává nevezték ki.
Miután 1799-ben befejezte az általános ötödfokú egyenletre vonatkozó bizonyítását, komoly kritikával illették, mert a bizonyítást nem tartották elég szigorúnak.
N.H.ABEL, a híres norvég matematikus 1824-ben jobb bizonyítást adott, de az sem volt tökéletesen hiánytalan.
Ruffini csoportokra vonatkozó eredményei alapozták meg a francia É. GALOIS és A.L.CAUCHY zseniális csoportelméleti eredményeit.

Selberg, Atle (1917- ) Norvég matematikus.
Matematika iránti érdeklôdése már általános iskolás korában megmutatkozott. Ramanujan munkáit tanulmányozta és hamarosan ô maga is matematikai kutatásokba kezdett.
Nagy hatással volt rá Hecke 1936-ban a Nemzetközi Matematikai Konferencián tartott elôadása.
1949-tôl a siracusai egyetem matematikaprofesszora volt.
A Norvég Tudományos Akadémia, a Dán Királyi Tudományos Akadémia, valamint az Amerikai Mûvészeti és Tudományos Akadémia tagjává választották.
Jelentôsek a számelméleti kutatásai, továbbfejlesztette ERATOSZTHENÉSZ-szitáját.
Az eddig csak analitikusan bizonyított prímszámtételre ERDÔS PÁL-lal közösen adott elemi bizonyítást.

Sylvester, James Joseph (1814-1897) Angol matematikus.
1831-ben felvételt nyert a cambridge-i St.John’s College-ba. Az egyetem elvégzése után ügyvédként dolgozott. 1838-ban kinevezték a londoni University College természetfilozófia professzorának. 1841 és 1845 között Amerikában élt és a virginiai egyetem professzora volt.
1845-ben visszatért Londonba és tíz évig egy biztosító társaságnál dolgozott. Ebben az idôben magántanítványok (köztük Florence Nightingale) tanításával is foglalkozott. 1855 és 1871 között a woolwichi Katonai Akadémia professzora, majd 1876-tól a baltimore-i John Hopkins Egyetem matematika professzora. Ekkor alapította az American Journal of Mathematics (A matematika amerikai lapja) címû folyóiratot, amely hozzájárult az Amerikai Egyesült Államokban folytatott matematikai kutatások fejlôdéséhez.
1883-ban Henry J. S. Smith, az oxfordi egyetem professzora lemondott és átadta a tanszékét Sylvesternek.
Jelentôs munkái megoszlanak az algebra, a számelmélet, a valószínûségszámítás és a matematikai fizika között.
Barátjával CAYLEY-vel együtt alapozták meg az algebrai invariánsok elméletét.
Továbbfejlesztette az algebrai egyenletek elméletét, a determinánselméletet és a mátrixelméletet.
A matematika mûvelése mellett költô is volt. Talán ezzel függ össze, hogy tôle származik a modern matematika sok mûszava, mint az „invariáns”, a „kovariáns” és a „diszkrimináns” szavak is.

Vallée-Poussin, Charles Jean de la (1866-1962) Belga matematikus és fizikus.
Apja a löweni egyetem geológia professzora volt. A fiatal Vallée-Poussin a jezsuitáknál tanult rövid ideig, késôbb mérnöki tanulmányait matematikával folytatta.
1893-ban a löweni egyetem professzora lett és 1909-tôl a belga akadémia tagjává választották.
Jelentôs eredményeket ért el a differenciálegyenletek, a halmazelmélet, az approximációelmélet és a számelmélet körében.
1896-ban HADAMARD-tól függetlenül bizonyította be a prímszámtétel néven ismert tételt, melyre 1949-ben SELBERG talált elemi bizonyítást

Viéte, Francois (1540-1603) Kiváló francia matematikus, a szimbolikus algebra kidolgozója.
Képzettségét és tevékenységét tekintve jogász volt. Egy ideig házitanítóként mûködött egy befolyásos családnál.
Asztronómia iránt érdeklôdött, ezért kezdett el algebrával és triogometriával foglalkozni. A tehetséges Viéte sikeres pályát futott be, és sokoldalúságát a francia udvar is igénybe vette. III. Henrik, majd IV. Henrik francia király udvari tudósa és belsô tanácsosa lett. Megfejtette a spanyolok megfejthetetlennek vélt kódját, ezzel segítve az ellenük vívott háborút.
Politikai ellenfeleinek intrikája miatt 1584 és 1589 között kegyvesztett lett. Ebben az idôszakban fogott hozzá fô mûvének az In artem analyticam isagoge (Bevezetés az analízis tudományába) címû könyvének írásához. E rendkívül alaposan megírt, az új algebrát tárgyaló mû 1591-tôl kezdve részletekben jelent meg. A befejezetlen munka jelentôs része csak Viéte halála után látott napvilágot, melyet a leideni egyetem professzorai gyûjtöttek össze. A modern matematika atyjának tekinthetjük, mert az algebrai egyenletet szimbólumokkal próbálta felírni. Az együtthatók helyett betûket használt. Az ismeretlen mennyiségeket magánhangzókkal, az együtthatókat mássalhangzókkal jelölte. Minden mennyiséget a számok kivételével, dimenzióval is jellemzett. Ez a geometriai szemlélet nehézkessé tette algebráját. A harmadfokú egyenlet irreducibilis esetét trigonometriai útra terelte és így elkerülte a nehézségeket.
Megállapította a gyökök és együtthatók összefüggését néhány esetre melyet Viéte-formulaként ismerünk ma.
Kidolgozta az algebrai mennyiségekkel való mûveletek szabályait.
Jelentôs felfedezése a végtelen szorzatok meghatározása, mely segítségével a értékét 10 tizedesjegyig számolta ki.

Vinogradov, Ivan Matvejevics (1891-1983) Állami díjas szovjet matematikus, akadémikus.
1914-ben végezte el a szentpétervári egyetemet. 1918 és 1920 között a Permi Állami Egyetemen, a mai Gorky Állami Egyetemen tanított.
1825-ben professzornak nevezték ki a szentpétervári egyetemen, majd Moszkvába költözött és 1934-tôl élete végéig a Steklov Intézet igazgatói posztját látta el.
Tudományos tevékenysége kiterjed az analitikus számelmélet egész területére. 1934-ben új módszert dolgozott ki trigonometrikus összegek becslésére. Ez lényegesen elôbbre vitte a Waring-probléma megoldását, amely szerint minden egynél nagyobb természetes szám elôállítható természetes számok n-edik hatványainak összegeként úgy, hogy az összeadandók r száma csak n-tôl függ.
Bebizonyította GOLDBACH egyik sejtését, amely szerint minden elég nagy páratlan szám elôállítható három prímszám összegeként.

Az említett matematikusok történelmi korok szerinti besorolása

ÓKOR (ie. 3000 - isz. 476)	KÖZÉPKOR (isz. 476 - 1492)	ÚJKOR (1492 - 1789)	LEGÚJABBKOR (1789 - )
Diophantosz Eukleidész Eratoszthenész Heron Püthagorasz	Al-Khwarizmi, Muhammad ibn Musza	Bézout Etienne Cardano, Gerolamo Descartes, René Euler, Leonhard Fermat, Pierre de Ferrari, Ludovico Goldbach, Cristian Mersenne, Marin Moivre, Abraham de Newton, Sir Isaac Rolle, Michel Viéte, Francois	Abel, Niels Henrik Boole, George Csebisev, Pafnutyij Lvovics Cayley, Arthur Dirichlet, Peter Gustav Lejeune Dedekind, Richard Erdõs Pál Eisenstein, Ferdinand Gotthold Max Frobenius, Georg Ferdinand Galois, Evariste Gauss, Carl Friedrich Hadamard, Jacques-Salomon Horner, Willian Georg Hasse, Helmut Kronecker, Leopold Lagrange, Joseph Louis Legendre, Adrien-Marie Möbius, August Ferdinand Ruffini, Paolo Selberg, Atle Schönemann Sylvester, James Joseph Vinogradov, Ivan Matrejevics Vallée-Poussin, Charles Jean de la

- .