Egyetemi tanulmányait 1904-06-ban és 1907-08-ban a budapesti tudományegyetemen végezte. Az 1906-07. tanévet Göttingenben, az 1909-10. tanévet Párizsban töltötte. Göttingenben korának vezető matematikusaival került kapcsolatba, különösen Hilbert, Minkowski és Klein voltak döntő hatással rá, 1909-ben a budapesti egyetemen matematikából doktorált. 1911-ben ösztöndíjjal Svédországba került, itt megismerkedett Mittag-Leflerrel, aki a lundi Acta Mathematicánál állást szerzett számára. 1926-ban meghívták a Lundi Egyetem egyik matematikai tanszékére professzornak, ahol 1952-ig, nyugdíjazásáig működött. Előadott többek között a chicagoi és a marylandi egyetemen is. Tagja volt a Svéd Tudományos Akadémiának. A magyar matematikusokkal állandó kapcsolatot tartott, bátyjával, Riesz Frigyessel társszerzőként dolgozatot írt. Kutatásainak kiindulópontja Fejér Lipót szummációs tétele volt. A trigonometrikus sorok vizsgálatával nemzetközi hírnevet szerzett. Fontos eredményeket ért el a momentum problémakör terén is. Lundba való áttelepülésével érdeklődése a potenciálelmélet és a hullámterjedés, a kvantummechanika matematikai problémái felé fordult. Ezen a téren érte el legjelentősebb eredményeit; felfedezte a Riemann-Liouville-integrál több dimenziós új analogonját. Tanítványai közé tartozik H. Cramér, Einar Hille, Lars Garding, Lars Hörmander és még sok jeles matematikus.