Családjának anyagi helyzete nem tette volna lehetővé továbbtanulását, azonban egy jóbarát segítségével 1877-ben beiratkozhatott a müncheni egyetemre, ahol Felix Klein tanítványa lett. 1880-ban Klein a lipcsei egyetemre távozott, Hurwitz követte, és itt doktorált 1881-ben. 1884-ben rendkívüli professzor lett a königsbergi egyetemen. 1892-ben elfogadta a zürichi politechnikum - a mai Eidgenössische Technische Hochschule elődje - meghívását és itt működött élete hátralévő részében. Meghívást kapott ugyan a göttingeni egyetemre, de ezt Zürich iránti lojalitásból visszautasította. Legfontosabb eredményeit a Riemann-felületek vizsgálatának területén, a komplex függvénytanban és az algebrai számelméletben érte el. Számos fontos tétel és matematikai fogalom fűződik a nevéhez, így többek között nevét viselik a Hurwitz-polinomok, a Hurwitz-féle automorfizmus tétel, és a Hurwitz-kvaterniók.