Matematikus, egyetemi tanár
Egyetemi tanulmányait Budapesten, Zürichben, a politechnikumon és Göttingenben végezte. Itthon nagy hatással volt rá Kőnig Gyula és Kürschák József, Göttingenben pedig David Hilbert és Hermann Minkowski. 1902-ben szerzett doktori címet. Középiskolai tanárként működött 1904-től Lőcsén, 1908-tól Budapesten. 1911-től a kolozsvári egyetem tanára. Az első világháború után rövid ideig Budapesten, azután 1945-ig Szegeden kapott katedrát. Munkatársával, Haar Alfréddal néhány év alatt a szegedi egyetemet matematikai centrummá fejlesztette. 1922-ben ők indították meg az "Acta Scientiarum Mathematicarum" című folyóiratot. Az 1925-26-os tanévben és 1945-ben az egyetem rektora volt. 1945 végén a budapesti tudományegyetem hívta meg egyik matematikai tanszékére. Ő volt a funkcionálanalízis egyik megteremtője. Kimagasló eredményeket ért el az integrálegyenletek elméletében. A szubharmonikus függvények fogalmának általánosításával a potenciálelmélet új irányát teremtette meg (Riesz-potenciálok). Jelentősen előre vitte az analitikus függvények elméletét is. Hozzájárult az operátorok spektrálelméletének olyan mérvű általánosításához, amely lehetővé tette a kvantummechanikai alkalmazást. Eredményesen foglalkozott a topológiával és az elméleti fizikában jelentős ergodelmélettel. A legáltalánosabban ismert eredménye a Riesz-Fischer-tétel. Tőle származik a topológikus terek axiomatikus megfogalmazása. Fejér Lipóttal közösen bizonyította a konform leképezések alaptételét a legrövidebb módon. Számos kitüntetés birtokosa. 1916-tól az MTA tagja. Riesz Marcell matematikus bátyja.