Dán matematikus
A Kiel-i egyetemen szerzett doktorátust 1913-ban. Az 1. világháborúban a német tengerészetnél szolgált. 1920-ban rövid ideig a Breslau-i (ma Wroclaw, Lengyelország) műszaki egyetemen tanított. Szülőfaluját az 1. világháborút lezáró békeszerződés Dániához csatolta. Nielsen a dán állampolgárságot választotta, 1921-től a koppenhágai állatorvosi egyetemen, majd 1925-től a koppenhágai műszaki egyetemen tanított. 1951-től 1955-ig, nyugalombavonulásáig Harald Bohr utódjaként a koppenhágai egyetem matematikaprofesszora volt. 1952-től 1959-ig az UNESCO Végrehajtó Tanácsának tagjaként aktív tevékenységet fejtett ki. Legfontosabb eredményeit a csoportelmélet és a felületek topológiájának elmélete területén érte el. Nevét viseli a Nielsen-Schreier-tétel, Nielsen-Thurston osztályozás és a Nielsen-, vagy más néven Fenchel-Nielsen-elmélet.