Az analízis módszereit már az ókori görög matematikusok is használták egyes geometriai problémák megoldására. Pl. ARKHIMÉDÉSZ a parabolaív alatti területet és gömb köbtartalmát olyan módszerrel számította ki, amelyet ma az integrálszámítás módszerei közé sorolunk. Ezután, mivel a mindennapi élet, a gyakorlat nem igényelte az analízis fejlõdését, lényegileg egy hosszú szünet következett. Természetesen ez nem azt jelenti, hogy semmi eredmény sem született, hogy fejlõdés egyáltalán nem volt, csak ezek nem voltak döntõ befolyással az analízis fejlõdésére.

        A XVIII - XIX. századi ipari forradalom legjelentõsebb vívmánya a munkagép volt. A gépek szerkesztése a természettudománytól a mozgások tanulmányozását kívánta. Hogy a mechanika ezt a szükségletet kielégíthesse, már nem voltak elegendõk a matematika ókorban és középkorban kialakult módszerei. A mozgás egzakt vizsgálatához a matematika új ágának kellett megszületnie: az analízisnek, vagy más néven az infinitézimális számításnak.
Az 1630 utáni 25-30 évben nagyon sokat fejlõdött a differenciál- és integrálszámítás. Meghatároztak és vizsgáltak görbéket, de még nem vették észre, hogy a kettõ között összefüggés van. 
Döntõ fejlõdés az angol NEWTON és a német LEIBNIZ munkássága révén következett. Õket, gyakran és méltán, az analízis megalapítóinak is tekintik. Módszereik azonban nem voltak elég precízek - legalább is mai szemmel nézve - bár az elért eredményeik nagyjelentésûek voltak. Ezt elsõsorban kiváló matematikai érzéküknek köszönhették.

         Newton és Leibniz után a XVIII. sz. az analízis továbbfejlõdésének kora volt. E században az analízis legkiválóbb mûvelõi a BERNOULLI fivérek, a svájci származású EULER, az öt kiváló francia matematikus D'ALEMBERT, LAGRANGE, LAPLACE, LEGENDRE és FOURIER, továbbá TAYLOR és MACLAURIN munkássága volt kiemelkedõ. 

          A XVIII. században és a XIX. század elején az analízis gyors fejlõdésével egyidõben jelentkeztek annak ellentmondásai is. Ezek a nem eléggé egzakt tárgyalásmódból adódtak. Ugyanis Newton, és különösen Leibniz kissé misztikus felfogásától félrevezettetve, az analízis különbözõ területein hibás, egymásnak ellentmondó eredményekre jutottak. Ezek az ellentmondások éles elvi vitákat eredményeztek, majd az analízis módszereinek kritikai felülvizsgálatához és az analízis logikailag szabatos felépítéséhez vezettek. Ezen viták során tisztázódott a határérték fogalma, és erre építve a differenciálhányadosnak és az integrálnak a "végtelen kicsi" mennyiségektõl független fogalma.

          GAUSS, után a francia CAUCHY vitte lényegesen tovább az analízist a komplex változós függvények elméletének és a határértékfogalomnak a megalkotásával. Utána említhetjük meg GALOIS, ABEL, JACOBI, HAMILTON, DIRICHLET és RIEMANN nevét. Külön ki kell emelni WEIERSTRASS nevét, aki az analízis legalapvetõbb fogalmait határozta meg: a függvényét, szélsõértékét, differenciálhányadosét, konvergenciáét. Nem hagyható ki az analízis történetébõl CANTOR, HILBERT, DEDEKIND, HADAMARD, JORDAN és LEBESGUE nevei sem.

         Hazánkban is értékes hagyományai vannak az analízis kutatásoknak és e kutatások jelenleg is magas színvonalon folynak. KÕNIG Gyula után, aki nagyon sokat tett a magyar analízis kutatás fellendítéséért, három világhírû matematikust kell kiemelnünk: HAAR Alfréd, FEJÉR Lipót és RIESZ Frigyes. Haar és Reisz hosszú idõn át oktattak is a szegedi József Attila Tudományegyetemen.
 

Niels ABEL (1802-1829)

Munkássága az algebrában és a függvények elméletében kimagasló. 1924-ben kimutatta, hogy az általános ötödfokú egyenlet képlet segítségével nem oldható meg. Az elliptikus integrálok inverziójának problémájával foglalkozva megalkotta az elliptikus függvények elméletét, és felfedezte ezek kettõs periodicitását komplex változó esetében.

Mi nevét az Abel-tétel kapcsán említettük, ami a hatványsorokkal volt összefüggésben.

Itt láthatsz egy nagy képet Abel-rõl

Az ókor legnagyobb, görög alkotó matematikusa és fizikusa. Õ már olyan módszereket használt egyes geometriai problémák megoldására, amik az integrálszámításnál fontosak.

Mi a róla elnevezett Arkhimédeszi axiómáról tanultunk, amely kimondja, hogy bármely x és y szám esetén megadható olyan n természetes szám, hogy nx > y egyenlõtlenség teljesül.

Itt található egy kép Arkhimédészrõl.

Johann BERNOULLI (1667-1748)

A svájci matematikuscsalád jelentõs tagja.
Az akkor újdonságnak számító matematikai analízist tanulmányozta és alkalmazta görbék mérésére, differenciálegyenletekre és mechanikai problémákra. Apja tiltakozása ellenére kezdett el foglalkozni a matematikával. 1691-1692-ben két dolgozatot írt a differenciál- és integrálszámításról. 1692-ben analízist tanított L'Hospital-nak. 1695-tõl 1705-ig a hollandiai Groningenben adott elõ matematikát, majd Bázelban.
A differenciál és integrálszámítást alakalmazta a görbék hosszának és területének meghatározására. A Párizsban élõ L'Hospital-nak küldött levelében olyan módszert illetve szabályt írt le, amelynek segítségével megoldhatók a látszólag nulla per nulla aránnyal kifejezhetõ határértéket tartalmazó problémák. Ezt ma a határozatlan formák L'Hospital szabályának nevezik, mert L'Hospital belefoglalta 1696-ban megjelent "A végtelen kicsi analízise" c. könyvébe.
Bernoulli munkásságát "Johann Bernoulli munkái" (1742) c. könyvében gyûjtötte össze.

Nagyon sok bizonyításhoz használtuk a Bernoulli-egyenlõtlenséget.

Itt láthatsz egy képet Bernoulliról.

Bernhard BOLZANO (1781-1848)

Cseh matematikus és teológus. 1816-ban részletesebb bizonyítást adott a binomiális tételre. Korszerû nézeteket vallott a logika, a matematikai változók, a határérték és a folytonosság problémáiról.
Legfontosabb mûvei:

• "A binomiális tétel" (1816)
• "Tiszta analitikus bizonyítás" (1817)
• "Függvénytan" (1834)

Az egyik legfontosabb tétel volt a Bolzano - Weierstrass tétel, amely kimondja, hogy minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Továbbá tanultunk még a Bolzano - Darboux tételrõl.

Itt láthatsz egy képet Bolzanoról.

Német matematikus, õ rakta le a halmazelmélet alapjait. Egy 10 tanulmányból álló sorozatban, amelyet 1869-tõl 1877-ig írt, Cantor elõször a számelmélettel foglalkozott, majd a trigonometriai sorozatok elmélete felé fordult, és ennek során kibõvítette a valós számok fogalmát.
1872-ben elõször az irracionális számoknak a racionális számok konvergens sorozatával történõ meghatározásához vezetett, majd ennek nyomán kezdett élete fõ mûvébe a halmazelméletnek és a transzfinit számok fogalmának megalkotásába.
A folytonossággal és a végtelennel kapcsolatos újszerû kérdésfeltevés során Cantor hamarosan ellentmondásokba keveredett. A függvényelmélet, a topológia és az analízis fejlõdése szempontjából a századfordulón fenntartás nélkül elismerték.

Itt egy kép Cantor-ról.

Augustin - Louis CAUCHY báró (1789-1857)

Francia matematikus, az analízis úttörõje, a XIX. sz. elsõ felében Gauss mellett a matematika kimagasló alakja. 

A véges csoportok elméletének egyik megalapozója. Az infinitezimális analízisben megalkotta a valós és komplex változós függvényekre a folytonosság modern fogalmát. Kimutatta a teljes sorozatok konvergenciájának jelentõségét; nevét a Cauchy-sorozatok viselik. Pontosította a határozott integrál fogalmát (Cauchy-integrál), és fontos eszközzé tette a komplex változós függvények tanulmányozásaihoz.

Analízis órán talán az õ nevével találkoztunk a legtöbbet. Tanultunk a Cauchy-féle konvergenciakritériumról, a Cauchy tételrõl, és a Cauchy-Hadamard tételrõl. Továbbá az õ definicióját használtuk a függvény, határérték, folytonosság és differenciálhatóság fogalmánál.

Szintén egy kép Cauchy-ról.

Jean Le Rond D'ALAMBERT (1717-1783)

Francia matematikus és fizikus, egyike volt a francia Enciklopédistáknak. Az Enciklopédia cikkeiben az analízist a határértékfogalomra építette, amit azonban kortársai nem nagyon értettek meg. Az általa bevezetett határérték fogalomról a következõt mondta : "Az egyenletek differenciálása abból áll, hogy az egyenletben szereplõ két változó véges különbségei hányadosának határértékét megkeressük". Sok fizikai problémát oldott meg differenciálegyenletek segítségével. Eulerrel együtt egyik megalapozója volt a differenciálegyenletek elméletének.

D'Alambert-rõl a hányadoskritérium kapcsán tanultunk.

Itt láthatsz egy képet D'Alambertrõl.

Jean Gaston DARBOUX (1842-1917)

Francia matematikus. Differenciálgeometriával és differenciálegyenletekkel foglalkozott. Fõ mûve, a "Felületek általános elmélete" differenciálgeometriai tárgyú.

Analízis órán vele kapcsolatosan tanultunk a Bolzano-Darboux és a Darboux tételrõl.

Itt láthatsz egy képet Darboux-ról.

Gustav DIRICHLET (1805-1859)

Német matematikus, 1831-1855 között a berlini, majd a göttingeni egyetem professzora. Az analitikus számelmélet megalapozója. A matematikai analízisben elsõként dolgozta ki pontosan a sorok konvergenciájának fogalmát. A potenciálelméletben és a variációszámításban is jelentõs eredményeket mutatott fel.

Mi megemlítettük a Dirichlet függvényt, amelynek értéke 1, ha x racionális és 0, ha x irracionális.

Ime egy kép Dirichletrõl.

Leonhard EULER (1707-1783)

Svájci matematikus, munkássága felöleli a kor matematikájának minden ágát. A "Mechanika, azaz a mozgás tudományának analitikus tárgyalása" (1736) c. könyve volt az elsõ nagy mû, amelyben az analízis a mozgások vizsgálatának alapeszközéül szolgál. "A maximális és minimális tulajdonságú görbék megkeresése" c. tanulmánya - amelyben elõször szerepel a variációszámítás kifejtése -, lehetõvé tette olyan görbék és felületek meghatározását, amelyekre nézve bizonyos ismeretlen függvények nagyobbak vagy kisebbek, mint a többi függvény. További mûveiben - "Bevezetés a végtelenek analízisébe" (1748), "A differenciálszámítás alapjai" (1755) és "Az integrálszámítás alapjai" (1768-1774) - a mai differenciál- és integrálszámítás elemein túl, megadja a differenciálegyenletek elméletét, a Taylor-sor alkalmazását.

Mi analízis órákon nagyon sokat hallottunk az Euler-számról, azaz az e-rõl.

Jacques HADAMARD (1865-1963)

Francia matematikus, kutatásai fõként a függvénytanra és a parciális differenciálegyenletekre irányultak. 1896-ban elsõként adott hibátlan bizonyítást a törzsszámok aszimptotikus eloszlására. Volterrát követve alapvetõ szerepet játszott a függvényanalízis megteremtésében.

Mi nevét a Cauchy-Hadamard tétel kapcsán említettük.

Camille JORDAN (1838-1922)

Francia matematikus. Elsõsorban az analízisben kifejtett munkássága, a csoportelmélet megalapozása (1870), valamint topológiai vizsgálati eredményei tették ismertté.

Mi a Jordan-mértékrõl és a Jordan-féle területrõl beszéltünk analízis órákon, amlyeket korlátos halmazok esetében vizsgáltunk.

Louis LAGRANGE (1736-1813)

Piemonti származású francia matematikus. A függvényfogalom általánosításával s fõleg a Taylor - sorfejtések használatával hozzájárult az analízis megalapozásához. Elsõnek vezette be a függvények deriváltjának jelölésére az f'(x) és f"(x) jelöléseket. Mûvével (Analitikus mechanika, 1788) a mechanikát elméleti, egyúttal szigorú és általános tudománnyá tette. Kimutatta - a sorok konvergenciájával nem törõdve -, hogy minden y=f(x) függvény algebrai módszerekkel sorbafejthetõ, és az f'(x), f"(x) stb. differenciálhányadosokat az f(x+h) Taylor-sorában, mint h, h2, stb. együtthatóit definiálta.

Mi többek között a Lagrange-tételrõl tanultunk. Tanultunk még a Lagrange-féle maradéktagról, amit a Taylor-formula kapcsán említettünk meg.

Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646-1716)

Német matematikus és filozófus, aki kezdetben jogot tanult. Matematikán belül kombinatorikával, differenciál- és integrálszámítással foglalkozott. Leibniz-é és Newtoné a dicsõség a differenciál- és integrálszámítás felfedezéséért. Sajnos a két tudós között vita zajlott le, amit fõként a tisztelõik kezdeményeztek. A differenciálszámítást geometriai modell segítségével alkotta meg. A ma használatos matematikai jelek közül tõle származik az egyenlõség, a szorzás, a hasonlóság, az egybevágóság, a differenciálhányados és az integrál jele. Õ használta elõször a "függvény" és a "koordináta" elnevezéseket.

Itt láthatsz egy képet Leibniz-rõl.

Guillame de Sainte-Mesme L'HOSPITAL márki (1661-1704)

Francia matematikus, a differenciálszámításról írt mûvében elsõként adta meg ay infinitezimális számítások teljes leírását ("A végtelen kis mennyisségek analízise a görbe vonalak megismerése céljából", 1699).

Mi neve kapcsán a L'Hospital szabályt említettük.

Colin MACLAURIN (1698-1746)

Munkásságát az elméleti geometria, az algebra és az infinitezimális számítások területén fejtette ki. A függvények növekvõ egész kitevõjû hatványok szerinti sorfejtése a Maclaurin-sor nevet viseli, mrt ilyen sorfejtést õ vezetett be elõször.

Sir Isaac NEWTON (1642-1727)

Angol matematikus és csillagász. Matematikai munkásságában írt egy a görbék területszámításával foglalkozó könyvet, amelyben kifejtette a differenciálszámítás szabályait, még Leibniz elõtt.

Analízis elõadáson a Newton-Leibniz formuláról tanultunk. Sokszor használtuk a Newton - féle binomiális tételt.

Michel ROLLE (1652-1719)

Francia matematikus, tanulmányait önállóan végezte. 23 éves korában megoldott egy olyan feladatot, amelyet egy korabeli matematikus, Ozanam nem tudott megoldani. 1690-ben megjelent mûvében, az "Algebrai tanulmányok"-ban fõleg algebrai egyenletek valós gyökei szétválasztásának kérdésével fogallkozott. Az itt megadott eredmények nem esnek távol annak a tételnek az állításától, amely ma a nevét viseli. Hosszú ideig bírálta Descartes és Leibniz munkáit a végtelen kicsi mennyiségekkel való számolással kapcsolatban. Habár kritkája az esetek többségében nem volt megalapozott, mégis ez késztette Leibnizet arra, hogy módszerének szigorú alapozást adjon.

Rolle nevével a középértéktételeknél találkoztunk, a Rolle-tétel a következõt mondja ki: Ha f(x) folytonos a véges zárt [a,b] intervallumon és differenciáloható a nyitott (a,b) intervallumon, továbbá ha f(a) = f(b), akkor létezik legalább egy belsõ pont, ahol a differenciálhányados 0.

Georg Friderich Bernhard RIEMANN (1826-1866)

1847-48-ban a berlini egyetemen tanult, ahol Dirichlet, Jacobi és Steiner elõadásait hallgatta. 1849-ben visszatért Göttingenbe és 1851-ben védte meg doktori értekezését "Egyváltozós komplex függvények általános elméletének alapjai" címmel. Ebben megalapozta az analitikus függvények geometriai elméletét, elindította a matematikai fizika és a topólógia fejlõdését.
Õ alapozta meg az analitikus számelméletet és adta meg a prímszámok aszimptotikus eloszlásának formuláját.
A geometriában a sokdimenziós általános terek vizsgálatával foglalkozott, amelyeket ma Riemann-tereknek nevezünk és amelyek alapvetõ szerepet játszottak a relativitáselmélet matematikai apparátusának felépítésében.
Munkássága talán az egyik legjelentõsebb hozzájárulás a matematikai analízis fejlõdéséhez és nagy hatással volt a modern matematikára is. Jegyzeteinek nagy részét tanítványai csak halála után, 1902-ben adták ki, ugyancsak három kötetben jelent meg elõadásainak anyagai, 1869-ben a "Matematikai fizika parciális differenciálegyenletei", 1875-ben a "Gravitáció, elektromosság és mágnesesség", 1899-ben az "Elliptikus függvények".

Az analízis egyik legalapvetõbb és leghasznosabb fogalma a határozott, azaz Riemann-integrál fogalma.

Brook TAYLOR (1685-1731)

Angol matematikus. A függvények hatványsorba való fejtésére formulát fedezett fel, ez a Taylor-sor.

Sokat foglalkoztunk a Taylor-sorozattal és a Taylor-sorral az analízis elõadásokon és szemináriumokon.

Itt láthatsz egy képet Taylor-ról.

Karl Teodor Wilhelm WEIERSTRASS (1815-1897)

Német matematikus, Bonnban jogot tanult, érdekelte a matematika, ezért 1841-ben tanári képesítést szerzett. 1842 és 1855 között középiskolai tanár, 1856-tól a berlini egyetem rendkivüli, 1865-tõl rendes professzora volt.
Munkásságának többsége csak halála után jelent meg. Hatása a matematika fejlõdésére mégis óriási, mert elõadásait sokan hallgatták. Munkásságának fõ területei: matematikai analízis, differenciálgeometria és lineáris algebra. Nagy jelentõségû tevékenysége a matematikai anlízis logikai megalapozása. A függvények folytonossága fogalmának a tisztázása érdekében konstruált egy mindenütt folytonos, de sehol sem deriválható függvényt. Ez a függvény és több tétel is viseli a nevét.

Mi a Bolzano-Weierstrass tételrõl tanultunk.

Itt láthatsz egy képet Weierstrassról.

Analízissel kapcsolatos linkek:

Egy interaktív oldal:
http://pirate.shu.edu/~wachsmut/reals/gloss/index.html

Függvénysorokkal kapcsolatban itt le is tölthetsz egy-két feladatot:
http://www.math.bme.hu/~konya/vistvan/fsorok2.htm

Tétlek, definíciók, feladatok és megoldások:
http://www.math.utep.edu/sosmath/calculus/calculus.html

Angolul az analízis történetének rövid áttekintése:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html#69

Bart Simpsonos analízis:
http://ccwf.cc.utexas.edu/~egumtow/calculus/calculus.html

Itt videó segítségével megtanulhatsz deriválni és integrálni, de sajnos nem ingyenes:
http://www.angelfire.com/biz/crestvideos/calculus.html

Egy "Analízis oldal":
http://math.ucdavis.edu/~hass/calculus/calculus.html

S végezetül egy oldal arról, akinek az analízis köszönhetõ:
http://members.tripod.com/~hurleyR/calculus.html

Összeállította:  Szili Anett
E-mail: neta@egon.gyaloglo.hu